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比の推定量の偏り

命題 6.6（「統計誤差の解析」§6） ・ ✓公理まで証明済み

(Xi,Yi)(X_i, Y_i)（i=1,2,…i = 1, 2, \ldots）を独立同分布な組とし、定数 0<c≤B0 < c \le B があって ∣Xi∣≤B|X_i| \le B、c≤Yi≤Bc \le Y_i \le B とする。μx=EX1\mu_x = \mathbb{E}X_1、μy=EY1\mu_y = \mathbb{E}Y_1、σy2=Var(Y1)\sigma_y^2 = \mathrm{Var}(Y_1)、σxy=Cov(X1,Y1)\sigma_{xy} = \mathrm{Cov}(X_1, Y_1)、r=μx/μyr = \mu_x/\mu_y、R^N=XˉN/YˉN\hat R_N = \bar X_N/\bar Y_N とおく。このとき

E[R^N]=r+c1N+c2N2+O(N−3),c1=μxσy2μy3−σxyμy2\mathbb{E}[\hat R_N] = r + \frac{c_1}{N} + \frac{c_2}{N^2} + O(N^{-3}), \qquad c_1 = \frac{\mu_x\sigma_y^2}{\mu_y^3} - \frac{\sigma_{xy}}{\mu_y^2}

が成り立つ。c2c_2 は NN によらない定数で、証明の中に式を与える。したがってジャックナイフ推定値 R^J=NR^N−(N−1)Rˉ(⋅)\hat R_{\mathrm J} = N\hat R_N - (N-1)\bar R_{(\cdot)} は E[R^J]=r+O(N−2)\mathbb{E}[\hat R_{\mathrm J}] = r + O(N^{-2}) を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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