Brown 橋の中点と、中点で分けた両側

$X$ を $(t_1, a)$ から $(t_2, b)$ への Brown 橋、$T = t_2 - t_1$、$t_{\mathrm m} = (t_1 + t_2)/2$ とする。

1. $t_1 < s < t_2$ について、$X_s$ は平均 $a + \dfrac{s - t_1}{T}(b - a)$、分散 $\dfrac{(s - t_1)(t_2 - s)}{T}$ の正規分布に従う。特に中点 $X_{t_{\mathrm m}}$ は平均 $(a+b)/2$、分散 $T/4$ の正規分布に従う。
2. 時刻 $t_1 < s_1 < \cdots < s_k < t_{\mathrm m} < s_1' < \cdots < s_l' < t_2$ について、$(X_{s_1}, \ldots, X_{s_k}, X_{t_{\mathrm m}}, X_{s_1'}, \ldots, X_{s_l'})$ の $(y, c, y')$ での密度は $$\phi\Bigl(c;\ \frac{a+b}{2},\ \frac T4\Bigr)\;q_{a\to c}^{[t_1, t_{\mathrm m}]}(y)\;q_{c\to b}^{[t_{\mathrm m}, t_2]}(y')$$ に等しい。すなわち、中点の値が $c$ であるという条件のもとで、左半分と右半分は独立で、それぞれ $(t_1, a)$ から $(t_{\mathrm m}, c)$ へ、$(t_{\mathrm m}, c)$ から $(t_2, b)$ への Brown 橋である。