静止した時計の進み方

命題 3.2（「曲がった時空と重力」§3）・ ✓公理まで証明済み

弱場計量において、空間座標を固定した点（ $dx^i = 0$ ）に置かれた時計の固有時 $\tau$ と座標時 $t$ の関係は

\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 + \frac{2\Phi}{c^2}} \simeq 1 + \frac{\Phi}{c^2}.

したがってポテンシャル $\Phi_A,\ \Phi_B$ の 2 点に静止した時計の進む速さの比は、 $|\Phi|/c^2 \ll 1$ の 1 次で

\frac{d\tau_A}{d\tau_B} \simeq 1 + \frac{\Phi_A - \Phi_B}{c^2}

である。すなわちポテンシャルの高い（重力の弱い）場所の時計ほど速く進む。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。