$L^p$ 空間

定義 3.1（「L^p 空間と関数解析への導入」§3）

$1 \le p < \infty$ とする。可測関数 $f \colon X \to \mathbb{K}$ に対して

\|f\|_p := \left( \int_X |f|^p \, d\mu \right)^{1/p} \in [0,\infty]

と定め、 $\|f\|_p < \infty$ となる $f$ を $p$ 乗可積分という。 $p$ 乗可積分な可測関数の全体を $\mathcal{L}^p(\mu)$ と書き、 $f = g$ a.e. という同値関係による商集合を

L^p(\mu) := \mathcal{L}^p(\mu) / \{\,f = g \ \text{a.e.}\,\}

と書く。 $L^p(\mu)$ の元 $[f]$ に対して $\|[f]\|_p := \|f\|_p$ と定める。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。