内積空間とヒルベルト空間

$\mathbb{K}$ 上の線形空間 $H$ 上の写像 $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to \mathbb{K}$ が次を満たすとき内積という。

1. 第 1 変数について線形：$\langle \alpha u + \beta v, w\rangle = \alpha\langle u,w\rangle + \beta\langle v,w\rangle$。
2. 共役対称：$\langle v,u \rangle = \overline{\langle u,v\rangle}$（$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ なら対称）。
3. 正定値：$\langle u,u\rangle \ge 0$ であり、$\langle u,u\rangle = 0 \iff u = 0$。

このとき $\|u\| := \sqrt{\langle u,u\rangle}$ はノルムになる。このノルムに関して完備な内積空間をヒルベルト空間という。