Hausdorff 測度の基本性質

$s\ge0$ とする。

1. $\mathcal{H}^s$ は距離外測度である。とくにボレル集合はすべて $\mathcal{H}^s$-可測で、$\mathcal{H}^s$ はボレル集合族の上の測度である。
2. $\mathcal{H}^0$ は数え上げ測度である（$\mathcal{H}^0(A)$ は $A$ の元の個数、無限集合なら $\infty$）。
3. $(Y,d')$ を距離空間、$f:A\to Y$ を $d'(f(x),f(y))\le L\,d(x,y)$（$L>0$）をみたす写像とすると、$\mathcal{H}^s(f(A))\le L^s\mathcal{H}^s(A)$。とくに等長写像は $\mathcal{H}^s$ を保ち、$\mathbb{R}^n$ では $\mathcal{H}^s(tA)=t^s\mathcal{H}^s(A)$（$t>0$）。
4. $0\le s<t$ とする。$\mathcal{H}^s(A)<\infty$ ならば $\mathcal{H}^t(A)=0$ である。したがって $\mathcal{H}^t(A)>0$ ならば $\mathcal{H}^s(A)=\infty$ であり、$\dim_HA=\sup\{s:\mathcal{H}^s(A)=\infty\}$ が成り立つ（$\{\ \}$ が空なら $\sup=0$ と読む）。