二つの極限

定理 4.2 のプランク分布は、次の二つの極限を持ちます。

1. 低振動数極限 $h\nu \ll k_BT$ のとき $u(\nu,T) = \dfrac{8\pi\nu^2}{c^3}k_BT\left(1 - \dfrac{h\nu}{2k_BT} + O\!\left((h\nu/k_BT)^2\right)\right)$。主項はレイリー・ジーンズ則 命題 3.1 に一致します。
2. 高振動数極限 $h\nu \gg k_BT$ のとき $u(\nu,T) = \dfrac{8\pi h\nu^3}{c^3}e^{-h\nu/k_BT}\left(1 + O\!\left(e^{-h\nu/k_BT}\right)\right)$。これはヴィーンの経験則の形です。