自由な Dirac 粒子のスペクトル

波数 $\boldsymbol{k}$ の平面波 $\psi=u\,e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}$ に対して、$H_D$ は $4\times4$ エルミート行列 $h(\boldsymbol{k})=\hbar c\,\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{k}+\beta mc^2$ になる。$h(\boldsymbol{k})$ の固有値は $\pm E_k$、$E_k=\sqrt{\hbar^2c^2k^2+m^2c^4}$ で、それぞれ 2 重に縮退する。したがって $H_D$ のスペクトルは $(-\infty,-mc^2]\cup[mc^2,\infty)$ であり、正のエネルギー側は 2 重のスピンの自由度を持つ。