ディラック・ハミルトニアンは下に有界でない

定義 4.1 の条件を満たす $N\times N$ エルミート行列 $\alpha^i,\beta$ が存在するとする。運動量固有値 $\boldsymbol{p}$ に対する行列 $H(\boldsymbol{p}) = \boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{p} + \beta m$ について、次が成り立つ。

1. $\operatorname{tr}\alpha^i = 0$（$i=1,2,3$）かつ $\operatorname{tr}\beta = 0$。したがって $\operatorname{tr}H(\boldsymbol{p}) = 0$。
2. $H(\boldsymbol{p})$ の固有値は $+\omega_{\boldsymbol p}$ と $-\omega_{\boldsymbol p}$ のみで、両者の重複度は等しく $N/2$ である。特に $N$ は偶数で、$\hat H$ のスペクトルは $(-\infty,-m]\cup[m,\infty)$ となり下に有界でない。