生成子と構造定数

定義 2.1（「非可換ゲージ理論の量子化」§2）

$G$ をコンパクトな単純 Lie 群（例： $SU(N)$ ）とし、その Lie 代数の基底を Hermite 行列 $t^a$ （ $a=1,\dots,\dim G$ ）で表します。構造定数 $f^{abc}$ を

[t^a,t^b]=if^{abc}t^c

で定めます。基底を $\mathrm{tr}(t^at^b)\propto\delta^{ab}$ となるように選ぶと $f^{abc}$ は実数で、3 つの添字について完全反対称です。表現 $r$ の生成子 $t^a_r$ は同じ交換関係を満たす $\dim r$ 次の Hermite 行列で、

\mathrm{tr}(t^a_rt^b_r)=C(r)\delta^{ab},\qquad t^a_rt^a_r=C_2(r)\mathbf 1

で表現の指数 $C(r)$ と 2 次の Casimir 演算子 $C_2(r)$ を定めます。 $SU(N)$ の基本表現 $F$ では $C(F)=\frac12$ と規格化します。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。