物理学 › 場の量子論 › ゲージ理論と自発的対称性の破れ

ゴールドストーンの定理（場の量子論版）

定理 5.2（「ゲージ理論と自発的対称性の破れ」§5） ・ ✓公理まで証明済み

次を仮定する。(i) 理論はローレンツ不変な局所場の理論で、状態空間の計量は正定値（負ノルム状態を含まない）である。(ii) 真空 ∣0⟩|0\rangle はポアンカレ変換で不変である。(iii) 局所的な保存カレント jμ(x)j^\mu(x) が存在し、∂μjμ=0\partial_\mu j^\mu = 0 を満たす。QR≡∫∣x∣<Rd3x j0(0,x)Q_R \equiv \int_{|\boldsymbol{x}| < R} d^3x\, j^0(0,\boldsymbol{x}) とおく。(iv) ある局所演算子 O\mathcal{O} が存在して

lim⁡R→∞⟨0∣[QR, O(0)]∣0⟩=η≠0\lim_{R\to\infty}\langle 0|\left[Q_R,\ \mathcal{O}(0)\right]|0\rangle = \eta \ne 0

（対称性が自発的に破れている、の意味）。

このとき理論のスペクトルには質量ゼロの 1 粒子状態 ∣π(k)⟩|\pi(\boldsymbol{k})\rangle が存在し、

⟨0∣ jμ(0) ∣π(k)⟩=if kμ,f≠0,k2=0\langle 0|\,j^\mu(0)\,|\pi(\boldsymbol{k})\rangle = i f\,k^\mu, \qquad f \ne 0,\quad k^2 = 0

を満たす。この粒子を南部・ゴールドストーン粒子という。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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