確率微分方程式と強解

定義 6.1（「確率微分方程式」§6）

可測関数 $b, \sigma : [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $\mathcal{F}_0$ -可測な確率変数 $\xi$ が与えられたとき、確率微分方程式

dX_t = b(t, X_t)\,dt + \sigma(t, X_t)\,dB_t, \qquad X_0 = \xi

の強解とは、連続な道をもつ $(\mathcal{F}_t)$ -適合過程 $X$ であって、ほとんど確実にすべての $t \in [0,T]$ で

X_t = \xi + \int_0^t b(s, X_s)\,ds + \int_0^t \sigma(s, X_s)\,dB_s

が成り立ち、かつ二つの積分が定義される（ $\int_0^T |b(s,X_s)|\,ds < \infty$ かつ $\int_0^T \sigma(s,X_s)^2\,ds < \infty$ が a.s.）ものをいいます。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。