分散・共分散・相関係数

定義 5.1（「確率変数と期待値」§5）

$E[X^2] < \infty$ を満たす確率変数全体を $L^2 = L^2(\Omega,\mathcal{F},P)$ と書く。 $X, Y \in L^2$ に対し、 $\mu_X := E[X]$ 、 $\mu_Y := E[Y]$ とおいて

\mathrm{Var}(X) := E\bigl[(X - \mu_X)^2\bigr], \qquad \mathrm{Cov}(X,Y) := E\bigl[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)\bigr]

をそれぞれ $X$ の分散、 $X$ と $Y$ の共分散という。 $\sigma_X := \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ を標準偏差という。さらに $\sigma_X > 0$ かつ $\sigma_Y > 0$ のとき

\rho(X,Y) := \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}

を相関係数という。 $\mathrm{Cov}(X,Y) = 0$ のとき $X$ と $Y$ は無相関であるという。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。