一様量子化の誤差の上界

定義 8.1 の記号のもとで、次が成り立ちます。

1. すべての $w \in [-a, a]$ で $|w - Q(w)| \le \Delta / 2$ です。
2. 成分がすべて $[-a, a]$ に入る $W \in \mathbb{R}^{m \times n}$ について $\|W - Q(W)\|_F \le \dfrac{\Delta}{2} \sqrt{mn}$ で、任意の $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ について $\|(W - Q(W))\boldsymbol{x}\| \le \dfrac{\Delta}{2} \sqrt{mn}\, \|\boldsymbol{x}\|$ です。
3. $b$ ビットの刻みを $\Delta_b$ と書くと、$\dfrac{\Delta_{b+1}}{\Delta_b} = \dfrac{2^b - 1}{2^{b+1} - 1} < \dfrac{1}{2}$ で、$b \to \infty$ のとき $\dfrac{1}{2}$ に収束します。
4. 量子化誤差 $e$ が区間 $[-\Delta/2, \Delta/2]$ 上の一様分布に従うという模型のもとでは、$\mathbb{E}[e] = 0$、$\mathrm{Var}(e) = \Delta^2 / 12$ です。