1 階常微分方程式の解と初期値問題

方程式

の解とは、区間 $I\subset\mathbb{R}$（開・閉・半開のいずれでもよく、1 点でない）上で定義された $C^1$ 級関数 $\varphi:I\to\mathbb{R}$ で、すべての $x\in I$ について $(x,\varphi(x))\in D$ かつ $\varphi'(x)=f(x,\varphi(x))$ を満たすものをいう（区間の端点では片側微分とする）。解は区間 $I$ とセットで考え、$(\varphi,I)$ と書く。

初期値 $(x_0,y_0)\in D$ を与えて「$\varphi(x_0)=y_0$ となる解を求めよ」という問題を初期値問題という。