外挿表の誤差

系 4.3（「数値積分 II」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A(h)$ が指数 $p_1 \lt \cdots \lt p_m$ 、剰余の次数 $q$ の誤差の漸近展開（定義 4.1。記号もそこでのもの）をもつとする。外挿表を $T_{k,0} = A(h_k)$ 、 $1 \le j \le \min(k, m)$ について

T_{k,j} = \frac{2^{p_j}T_{k,j-1} - T_{k-1,j-1}}{2^{p_j} - 1}

で定めると、

T_{k,j} = A + \sum_{i=j+1}^{m}c_i\gamma_{i,j}\,h_k^{p_i} + r_{k,j}, \qquad \gamma_{i,j} = \prod_{l=1}^{j}\frac{2^{p_l} - 2^{p_i}}{2^{p_l} - 1}, \qquad |r_{k,j}| \le C\prod_{l=1}^{j}\frac{2^{p_l} + 2^q}{2^{p_l} - 1}\,h_k^q

が成り立つ。とくに $T_{k,j} - A = O(h_k^{p_{j+1}})$ （ $j \lt m$ ）、 $T_{k,m} - A = O(h_k^q)$ である（ $k \to \infty$ 。定数は $k$ によらない）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。