相対条件数

$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$f:U\to\mathbb{R}^m$、$\boldsymbol{x}\in U$ で $\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$, $f(\boldsymbol{x})\ne\boldsymbol{0}$ とする。

1. （ノルムによる）相対条件数を $$\kappa(\boldsymbol{x})=\lim_{\varepsilon\to+0}\ \sup\left\{\frac{\|f(\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x})\|/\|f(\boldsymbol{x})\|}{\|\Delta\boldsymbol{x}\|/\|\boldsymbol{x}\|}:0\lt\|\Delta\boldsymbol{x}\|\le\varepsilon\|\boldsymbol{x}\|\right\}$$ と定める。
2. $m=1$ のとき、成分ごとの相対条件数を $$\kappa_{\mathrm{c}}(\boldsymbol{x})=\lim_{\varepsilon\to+0}\ \sup\left\{\frac{|f(\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x})|}{|f(\boldsymbol{x})|\,\eta_{\boldsymbol{x}}(\Delta\boldsymbol{x})}:0\lt\eta_{\boldsymbol{x}}(\Delta\boldsymbol{x})\le\varepsilon\right\}$$ と定める。

（$\varepsilon$ を小さくすると $\sup$ をとる集合が小さくなるので、$\sup$ は $\varepsilon$ について単調非減少で、極限は $[0,\infty]$ に存在する。$\Delta\boldsymbol{x}$ は $\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x}\in U$ の範囲を動く。）