後退安定と混合安定

問題 $f$ の定義域の部分集合 $D$ の入力に対し、単位丸め $u$ の浮動小数点演算で計算値 $\hat f(\boldsymbol{x})$ を返すアルゴリズムを考える。$\boldsymbol{x}$ と $u$ によらない定数 $C$（入力の次元 $n$ などには依ってよい）があって、

1. すべての $\boldsymbol{x}\in D$ で後退誤差（ノルムによる、または成分ごと）が $Cu$ 以下のとき、アルゴリズムは（その意味で）後退安定であるという。
2. すべての $\boldsymbol{x}\in D$ で $\hat f(\boldsymbol{x})+\Delta\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x}+\Delta\boldsymbol{x})$, $\|\Delta\boldsymbol{y}\|\le Cu\|\hat f(\boldsymbol{x})\|$, $\|\Delta\boldsymbol{x}\|\le Cu\|\boldsymbol{x}\|$ となる $\Delta\boldsymbol{x}$, $\Delta\boldsymbol{y}$ があるとき、混合安定（前進後退安定）であるという。