楕円曲線（短ヴァイエルシュトラス形）

定義 2.1（「楕円曲線・モジュラー形式と現代数論」§2）

$K$ を標数 $2, 3$ でない体とし、 $a, b \in K$ が

\Delta := -16\,(4a^3 + 27b^2) \ne 0

を満たすとする。このとき射影平面 $\mathbb{P}^2$ 内の曲線

E : Y^2 Z = X^3 + a X Z^2 + b Z^3

を $K$ 上の楕円曲線という。 $L \supseteq K$ を体の拡大とするとき、 $E$ の $L$ 有理点の集合を

E(L) = \{(x, y) \in L^2 \mid y^2 = x^3 + ax + b\} \cup \{O\}, \qquad O = [0:1:0]

と書く。 $\Delta$ を $E$ の判別式と呼ぶ。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。