固定端の弦の基準振動

固定端の弦の方程式 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ について、変数分離解 $u=X(x)\,Y(t)$（自明でないもの）は、整数 $n\ge1$ を用いて

の形に限られる。有限個の和 $u=\sum_{n=1}^{N}u_n$ もまた解であり、初期条件が $u_0=\sum_n\alpha_n\sin\frac{n\pi x}{L}$, $v_0=\sum_n\beta_n\sin\frac{n\pi x}{L}$ のときの解は、$a_n=\alpha_n$, $b_n=\beta_n/\omega_n$ で与えられ、命題 5.2 により唯一である。