オイラー・ラグランジュ方程式の共変性

定理 5.2（「ラグランジュ形式の力学」§5）・ ✓公理まで証明済み

$q = q(Q,t)$ を $C^3$ 級の点変換とし、各時刻でヤコビ行列 $J = \bigl(\partial q^k/\partial Q^a\bigr)_{k,a}$ が正則であるとする。 $L(q,\dot q,t)$ に対して

\tilde L(Q,\dot Q, t) := L\Bigl(q(Q,t),\ \dot q(Q,\dot Q,t),\ t\Bigr), \qquad \dot q^k = \sum_a \frac{\partial q^k}{\partial Q^a}\dot Q^a + \frac{\partial q^k}{\partial t}

と定める。このとき、 $C^2$ 級曲線 $t\mapsto Q(t)$ とそれに対応する $q(t) = q(Q(t),t)$ について

E_a(\tilde L) = \sum_{k=1}^{n} E_k(L)\, \frac{\partial q^k}{\partial Q^a}, \qquad E_k(L) := \frac{\partial L}{\partial q^k} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^k}

が成り立つ。とくに、 $q(t)$ が $L$ のオイラー・ラグランジュ方程式をみたすことと、 $Q(t)$ が $\tilde L$ のオイラー・ラグランジュ方程式をみたすことは同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。