ドット消去と微分順序交換

補題 5.1（「ラグランジュ形式の力学」§5）・ ✓公理まで証明済み

$q^k = q^k(Q^1,\ldots,Q^n, t)$ を $C^2$ 級の関数とし、これに沿った速度を

\dot q^k = \sum_{a=1}^{n} \frac{\partial q^k}{\partial Q^a}\dot Q^a + \frac{\partial q^k}{\partial t}

で定める（ $\dot q^k$ は $(Q,\dot Q,t)$ の関数と見る）。このとき次が成り立つ。

\text{(i)}\quad \frac{\partial \dot q^k}{\partial \dot Q^a} = \frac{\partial q^k}{\partial Q^a}, \qquad\qquad \text{(ii)}\quad \frac{\partial \dot q^k}{\partial Q^a} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial q^k}{\partial Q^a}\right).

ここで $d/dt$ は $Q = Q(t)$ に沿った全微分を表す。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。