微分の行列表示はヤコビ行列

$F : M \to N$ を $C^{\infty}$ 級、$(U,\varphi)$ を $p$ を含む $M$ のチャート（座標 $x^i$、$\dim M = n$）、$(V,\psi)$ を $q = F(p)$ を含む $N$ のチャート（座標 $y^j$、$\dim N = m$）とする。$F$ の連続性より、必要なら $U$ を縮めて $F(U) \subset V$ としてよい。$\widehat{F} = \psi\circ F\circ\varphi^{-1} : \varphi(U) \to \psi(V)$、$a = \varphi(p)$ とおく。このとき

である。すなわち基底 $\{\partial/\partial x^i|_p\}$、$\{\partial/\partial y^j|_q\}$ に関する $dF_p$ の表現行列は、局所表示 $\widehat{F}$ のヤコビ行列 $D\widehat{F}(a)$ である。