$C^k$ 級多様体

$k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$、$n$ を $0$ 以上の整数とする。組 $(M, \mathcal{A})$ が $n$ 次元 $C^k$ 級多様体であるとは、

1. $M$ は Hausdorff 位相空間であり、
2. $M$ は第二可算であり、
3. $\mathcal{A}$ は $M$ 上の $n$ 次元 $C^k$ 級微分構造（すなわち極大 $n$ 次元 $C^k$ アトラス）である

ことをいう。$n$ を $M$ の次元と呼び $\dim M = n$ と書く。$k = \infty$ のとき $M$ を滑らかな多様体（$C^\infty$ 多様体）という。$\mathcal{A}$ が文脈から明らかなときは単に $M$ と書く。