チャート（座標近傍）

$M$ を位相空間、$n$ を $0$ 以上の整数とする。組 $(U, \varphi)$ が $M$ の $n$ 次元チャート（座標近傍）であるとは、

1. $U$ は $M$ の開集合であり、
2. $\varphi \colon U \to \varphi(U)$ は $\mathbb{R}^n$ のある開集合 $\varphi(U)$ の上への同相写像である

ことをいう。$\varphi$ の第 $i$ 成分を $x^i \colon U \to \mathbb{R}$ と書き、$\varphi = (x^1, \ldots, x^n)$ を $U$ 上の局所座標系、$x^i$ を座標関数と呼ぶ。点 $p \in U$ に対し $\varphi(p) = (x^1(p), \ldots, x^n(p))$ を $p$ の座標という。

$M$ の各点が何らかの $n$ 次元チャートの定義域に含まれるとき、$M$ は $n$ 次元局所ユークリッド空間であるという。