$C^k$ アトラスと $C^k$ 構造

$M$ を位相空間、$k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ とする。

1. $M$ の $n$ 次元チャートの族 $\mathcal{A} = \{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}_{\alpha \in A}$ が $n$ 次元 $C^k$ アトラスであるとは、$\bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha = M$ であり、かつ任意の $\alpha, \beta \in A$ について $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ と $(U_\beta, \varphi_\beta)$ が $C^k$ 両立することをいう。
2. $C^k$ アトラス $\mathcal{A}$ が極大であるとは、$\mathcal{A}$ のすべてのチャートと $C^k$ 両立するような $M$ の $n$ 次元チャートが、必ず $\mathcal{A}$ に属することをいう。
3. 極大な $n$ 次元 $C^k$ アトラスを、$M$ 上の $n$ 次元 $C^k$ 級微分構造（$C^k$ 構造）と呼ぶ。