随伴表現

定義 7.1（「リー群とリー環」§7）

$G$ をリー群、 $\mathfrak{g}$ をそのリー環とします。 $g \in G$ に対し共役 $C_g \colon G \to G$ 、 $C_g(h) = ghg^{-1}$ は $e$ を固定する群同型なので、その微分

\operatorname{Ad}(g) := d(C_g)_e \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}

は線形同型です。こうして得られる群準同型 $\operatorname{Ad} \colon G \to GL(\mathfrak{g})$ を随伴表現といいます。さらにその単位元での微分

\operatorname{ad} := d(\operatorname{Ad})_e \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})

を $\mathfrak{g}$ の随伴表現といいます。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。