分布・involutive・平坦チャート

$M$ を $n$ 次元多様体とする。

1. $M$ の $k$ 次元分布とは、各点 $p$ に $k$ 次元部分空間 $E_p\subset T_pM$ を与える対応 $E$ で、各点の近傍 $U$ 上に滑らかなベクトル場 $X_1,\dots,X_k$ が存在し、各 $q\in U$ で $X_1|_q,\dots,X_k|_q$ が $E_q$ の基底となるもの（局所枠）をいう。
2. $E$ の切断とは、すべての点で $X_p\in E_p$ となる滑らかなベクトル場 $X$ をいう。$E$ が involutive であるとは、$E$ の任意の二つの切断 $X,Y$ に対して $[X,Y]$ も $E$ の切断になることをいう。
3. チャート $(U;x^1,\dots,x^n)$ が $E$ に対して平坦であるとは、$U$ 上で $E$ が $\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^k$ で張られることをいう。このとき $x^{k+1},\dots,x^n$ を定数とする集合（スライス）は、接空間が $E$ である $k$ 次元部分多様体（積分多様体）になる。