角度と直交性

$V$ を実内積空間とし、$x,y\in V$ をともに $0$ でないベクトルとする。$\cos\theta = \dfrac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}$ を満たす $\theta\in[0,\pi]$ を $x$ と $y$ のなす角という（余弦関数は $[0,\pi]$ から $[-1,1]$ への全単射なので $\theta$ は一意に定まる）。

また $\mathbb{K}$ が $\mathbb{R}$ でも $\mathbb{C}$ でも、$\langle x,y\rangle=0$ のとき $x$ と $y$ は直交するといい $x\perp y$ と書く。部分集合 $S\subseteq V$ に対し、$S$ のすべての元と直交するベクトル全体

を $S$ の直交補空間という。