対角形による関数計算

$P^{-1}AP = D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ とする。このとき次が成り立つ。

1. 任意の整数 $k \ge 0$ に対し $A^k = PD^kP^{-1} = P\operatorname{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)P^{-1}$。$A$ が正則ならば負の整数 $k$ に対しても成り立つ。
2. 任意の多項式 $f \in K[t]$ に対し $f(A) = P\operatorname{diag}(f(\lambda_1), \ldots, f(\lambda_n))P^{-1}$。
3. $K = \mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、べき級数 $f(z) = \sum_{k\ge 0} a_kz^k$ が各 $\lambda_i$ で絶対収束するとする。このとき $f(A) = \sum_{k \ge 0}a_kA^k$ は収束し、$f(A) = P\operatorname{diag}(f(\lambda_1), \ldots, f(\lambda_n))P^{-1}$ が成り立つ。とくに $e^{A} = P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1},\ldots,e^{\lambda_n})P^{-1}$ である。