可解・冪零・半単純

$\mathfrak{g}^{(0)}=\mathfrak{g}$、$\mathfrak{g}^{(k+1)}=[\mathfrak{g}^{(k)},\mathfrak{g}^{(k)}]$（導来列）、$C^0\mathfrak{g}=\mathfrak{g}$、$C^{k+1}\mathfrak{g}=[\mathfrak{g},C^k\mathfrak{g}]$（降中心列）とおく。

1. ある $k$ で $\mathfrak{g}^{(k)}=0$ となるとき $\mathfrak{g}$ は 可解 である。
2. ある $k$ で $C^k\mathfrak{g}=0$ となるとき $\mathfrak{g}$ は 冪零 である。
3. $\mathfrak{g}$ の最大の可解イデアルを 根基 $\operatorname{Rad}\mathfrak{g}$ という。$\operatorname{Rad}\mathfrak{g}=0$ のとき $\mathfrak{g}$ は 半単純 である。$\mathfrak{g}$ が可換でなく、$0$ と自分以外のイデアルをもたないとき 単純 である。