数の体系

自然数全体を $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$、整数全体を $\mathbb{Z}$、有理数全体を $\mathbb{Q}=\{p/q \mid p,q\in\mathbb{Z},\ q\ne0\}$、実数全体を $\mathbb{R}$ と書く。実数のうち有理数でないものを無理数という。

$\mathbb{R}$ は順序体の公理（順序体（定義 2.1）［数とは何か］）に加えて、連続性公理（実数の連続性公理（公理 5.1）［数とは何か］）を満たす。包含関係 $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ があり、$\mathbb{Q}$ も順序体だが連続性公理は満たさない。