優越関係は Robin Hood 変換の列で実現できる

$\alpha,\beta$ を大きい順に並んだ非負整数の組で、$\alpha\succ\beta$、$\alpha\ne\beta$ とする。このとき $i<j$ で $\alpha_i\ge\alpha_j+2$ となるものがあって、$\alpha'=\alpha-e_i+e_j$（第 $i$ 成分を $1$ 減らし第 $j$ 成分を $1$ 増やす）は大きい順に並び、$\alpha'\succ\beta$ を満たす。さらに $\sum_k\bigl(\sum_{l\le k}\alpha_l-\sum_{l\le k}\beta_l\bigr)$ は $\alpha'$ で真に小さくなる。したがって有限回の変換で $\alpha$ から $\beta$ に至る。