連続極限で質量ギャップが残るための条件

$m\colon(0,\infty)\to(0,\infty)$（格子単位の質量ギャップ）と、$\beta\to\infty$ で $a(\beta)\to0$ となる $a\colon(0,\infty)\to(0,\infty)$（格子間隔の選び方）について、物理的な質量ギャップを $M(\beta)=m(\beta)/a(\beta)$ と置く。

1. $\lim_{\beta\to\infty}M(\beta)=M\in(0,\infty)$ が存在するなら、$\lim_{\beta\to\infty}m(\beta)=0$ である。すなわち、格子単位の相関長 $1/m(\beta)$ は発散する。
2. $SU(N)$ の格子間隔が 2 ループの漸近スケーリング $$a(\beta)=\frac{R(\beta)}{\Lambda_{\mathrm{L}}},\qquad R(\beta)=\Bigl(\frac{\beta}{2Nb_0}\Bigr)^{b_1/(2b_0^2)}\exp\Bigl(-\frac{\beta}{4Nb_0}\Bigr)$$ （$\Lambda_{\mathrm{L}}\gt0$ は定数、$b_0\gt0$、$b_1\in\mathbb{R}$）で与えられるとき、$M(\beta)\to M\in(0,\infty)$ は $\lim_{\beta\to\infty}m(\beta)/R(\beta)=M/\Lambda_{\mathrm{L}}$ と同値で、このとき $$\log m(\beta)=-\frac{\beta}{4Nb_0}+\frac{b_1}{2b_0^2}\log\beta+O(1)\qquad(\beta\to\infty).$$
3. 「すべての $\beta$ で $m(\beta)\gt0$」かつ「$m(\beta)\to0$」であっても、$M(\beta)$ の極限については何も言えない。実際、2 の $a(\beta)$ について、$m_1(\beta)=e^{-\beta^2}$ なら $M(\beta)\to0$、$m_2(\beta)=\frac{1}{1+\beta}$ なら $M(\beta)\to\infty$、$m_3(\beta)=R(\beta)$ なら $M(\beta)=\Lambda_{\mathrm{L}}$ である。