ゲージ群・接続・曲率・Yang–Mills 作用

$G$ をコンパクト単純 Lie 群（コンパクトな連結 Lie 群で、Lie 環 $\mathfrak{g}$ が非可換かつ $\{0\}$ と $\mathfrak{g}$ 以外のイデアルをもたないもの。例: $SU(N)$（$N\ge2$）、$SO(N)$（$N=3$ または $N\ge5$）、$Sp(N)$、例外群）とし、ユニタリ行列の群 $G\subset U(n)$ として実現しておく。$\mathfrak{g}$ は反 Hermite 行列からなる。

1. $\mathfrak{g}$ 上の $\mathrm{Ad}$ 不変内積を $\langle X,Y\rangle=-2\,\mathrm{tr}(XY)$ とする。
2. $\mathbb{R}^d$ 上の（自明束の）接続とは、滑らかな写像 $A_\mu\colon\mathbb{R}^d\to\mathfrak{g}$（$\mu=1,\dots,d$）の組 $A=\sum_\mu A_\mu\,dx^\mu$ をいう。
3. $A$ の曲率を $F_A=dA+A\wedge A$、成分で $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+[A_\mu,A_\nu]$ とする。共変微分を $D_\mu X=\partial_\mu X+[A_\mu,X]$（$X\colon\mathbb{R}^d\to\mathfrak{g}$）とする。
4. 結合定数 $g\gt0$ について、（Euclid 的）Yang–Mills 作用を $$S(A)=\frac{1}{4g^2}\int_{\mathbb{R}^d}|F_A|^2\,d^dx,\qquad|F_A|^2=\sum_{\mu,\nu=1}^d\langle F_{\mu\nu},F_{\mu\nu}\rangle$$ とする（右辺が有限のとき）。
5. 滑らかな $h\colon\mathbb{R}^d\to G$ によるゲージ変換を $A^h_\mu=h^{-1}A_\mu h+h^{-1}\partial_\mu h$ とする。