Yang–Mills の存在と質量ギャップ（Jaffe–Witten の問題記述）

$G$ をコンパクト単純 Lie 群とする。

1. ゲージ群 $G$ の 4 次元量子 Yang–Mills 理論とは、定義 3.1 の意味の場の量子論で、次を満たすものをいう。
   • (a) 局所的な量子場の作用素が、曲率 $F$ とその共変微分のゲージ不変な局所多項式（$\mathrm{tr}F_{ij}F_{kl}(x)$ など。定義 2.2 の 1）に対応して存在する。
   • (b) それらの相関関数は、短距離で、漸近的自由と摂動論的くりこみ理論の予言に一致する（エネルギー運動量テンソルと作用素積展開が存在し、その局所的な特異性が漸近的自由の予言どおりであることを含む）。
2. $\Omega$ は Poincaré 不変なので $H\Omega=0$、また $H\ge0$ である。理論が質量ギャップ $\Delta\gt0$ をもつとは、$H$ が区間 $(0,\Delta)$ にスペクトルをもたないことをいう。そのような $\Delta$ の上限 $m$ を質量といい、$m\lt\infty$ を要求する。
3. 問題: 任意のコンパクト単純ゲージ群 $G$ について、$\mathbb{R}^4$ 上の非自明な量子 Yang–Mills 理論が存在し、質量ギャップ $\Delta\gt0$ をもつことを証明せよ。存在は、Streater–Wightman の本と Osterwalder–Schrader の論文にある公理と少なくとも同じ強さの公理的性質を確立することを含む。