紫外安定性・連続極限・面積則と周長則

格子間隔 $a$ の格子 $a\mathbb{Z}^d$ の上で、辺の長さ $\ell$ の箱（$(\ell/a)^d$ 個の点）の格子 Yang–Mills 測度を、裸の結合定数 $g(a)$ で考える。

1. 紫外安定性: 定数 $E_-,E_+$（$a$ によらない）と、$a$ に依存してよい明示的な規格化定数 $\mathcal{N}(a)$ があって、すべての小さい $a$ で $e^{E_-\ell^d}\le Z(a)/\mathcal{N}(a)\le e^{E_+\ell^d}$ が成り立つこと。
2. （観測量の）連続極限の存在: ゲージ不変な観測量の族（たとえば、連続の曲線を近似する格子ループ $C_a$ の Wilson ループ、適切にくりこんだもの）の期待値が、$a\to0$ で収束すること。
3. Wilson ループの面積則と周長則: 大きな $R\times T$ の長方形ループの期待値が $e^{-\sigma RT}$（$\sigma\gt0$）のように減衰すること、$e^{-c(R+T)}$ のように減衰すること（定義 3.5［強結合展開と閉じ込め］）。
4. ‘t Hooft 極限: $N\to\infty$ で $g^2N$ を固定する極限。格子では、作用を $N\beta'\sum_p\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U_p$ と書いて $\beta'$ を固定することに当たる（定義 2.1 の $\beta$ とは $\beta=N^2\beta'$）。