Eisenstein 整数とノルム

$\mathcal{O}:=\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega:\ a,b\in\mathbb{Z}\}$ の元を Eisenstein 整数という。$\alpha=a+b\omega$ のノルムを

で定める。$\mathcal{O}$ は $F=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ の整数環である（命題 8.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の $m=-3\equiv1\pmod4$ の場合。$\frac{1+\sqrt{-3}}2=1+\omega$）。$0$ でないイデアル $\mathfrak{a}$ のノルムは $N\mathfrak{a}:=|\mathcal{O}/\mathfrak{a}|$（定義 5.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］）で、$N(\alpha\mathcal{O})=N(\alpha)$ である（命題 5.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 3）。$\lambda:=\sqrt{-3}=1+2\omega$ とおく。$N(\lambda)=3$、$\lambda^2=-3$ である。