数学 › Gibbs 測度と相転移の数理 › 熱力学的極限

相互作用

定義 2.1（「熱力学的極限」§2）

各 A⋐ZdA\Subset\mathbb{Z}^d に、ωA\omega_A だけに依存する関数 ΦA:Ω→R\Phi_A:\Omega\to\mathbb{R} を対応させた族 Φ=(ΦA)\Phi=(\Phi_A) を相互作用という。ΦA+x=ΦA∘θx\Phi_{A+x}=\Phi_A\circ\theta_x（すべての A,xA,x）のとき並進不変といい、並進不変で

∥Φ∥:=∑A∋0∥ΦA∥∞<∞\|\Phi\|:=\sum_{A\ni0}\|\Phi_A\|_\infty<\infty

を満たすもの全体を B\mathcal{B} と書く。B\mathcal{B} はノルム ∥⋅∥\|\cdot\| について実ベクトル空間である。Λ⋐Zd\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d について、自由境界条件のハミルトニアンと分配関数、有限体積の圧力を

HΛ(σ)=∑A⊂ΛΦA(σ),ZΛ=∑σ∈ΩΛe−HΛ(σ),pΛ=log⁡ZΛ∣Λ∣H_\Lambda(\sigma)=\sum_{A\subset\Lambda}\Phi_A(\sigma),\qquad Z_\Lambda=\sum_{\sigma\in\Omega_\Lambda}e^{-H_\Lambda(\sigma)},\qquad p_\Lambda=\frac{\log Z_\Lambda}{|\Lambda|}

で定める（ΦA\Phi_A は ωA\omega_A だけで決まるので、A⊂ΛA\subset\Lambda なら ΦA(σ)\Phi_A(\sigma) は σ∈ΩΛ\sigma\in\Omega_\Lambda に対して意味をもつ）。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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