Edwards–Sokal 結合

定理 3.1（「ランダムクラスター表示と浸透」§3）・ ✓公理まで証明済み

$q\in\{2,3,\dots\}$ 、 $p_e=1-e^{-\beta J_e}\in(0,1)$ とし、 $W$ 上で $\sigma\equiv1$ となる $(\sigma,\omega)$ に

\mathbb{P}(\sigma,\omega)=\frac1{\mathcal{Z}}\prod_{e=\{x,y\}\in E}\Bigl((1-p_e)\mathbf{1}\{\omega_e=0\}+p_e\mathbf{1}\{\omega_e=1\}\mathbf{1}\{\sigma_x=\sigma_y\}\Bigr)

を与える。このとき次が成り立つ。

(i) $\sigma$ の周辺分布は Potts 模型 $\pi^W$ である。

(ii) $\omega$ の周辺分布はランダムクラスター測度 $\varphi^W_{p,q}$ である。

(iii) $\omega$ を与えたとき、 $\sigma$ の条件付き分布は「 $W$ と交わるクラスターは色 $1$ 、他のクラスターには独立に一様な色を塗り、クラスター内は同色」である。

(iv) $\sigma$ を与えたとき、 $\omega_e$ は独立で、 $\sigma_x=\sigma_y$ の辺では確率 $p_e$ で開、 $\sigma_x\ne\sigma_y$ の辺は閉である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。