物理学 › 一般相対性理論 › Einstein 方程式

−g\sqrt{-g} の変分

補題 4.1（「Einstein 方程式」§4） ・ ✓公理まで証明済み

g=det⁡(gμν)g=\det(g_{\mu\nu}) とする。gμνg_{\mu\nu} の微小変分 δgμν\delta g_{\mu\nu} に対して

δ−g=12−g gμνδgμν=−12−g gμνδgμν\delta\sqrt{-g}=\tfrac12\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-\tfrac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}

である。また Γσσλ=∂λln⁡−g\Gamma^\sigma{}_{\sigma\lambda}=\partial_\lambda\ln\sqrt{-g}、したがってベクトル場 VV について ∇σVσ=1−g∂σ(−g Vσ)\nabla_\sigma V^\sigma=\dfrac1{\sqrt{-g}}\partial_\sigma\bigl(\sqrt{-g}\,V^\sigma\bigr) である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件