掛け算作用素のスペクトル

命題 8.6（「非有界作用素」§8）・ ✓公理まで証明済み

$\varphi$ を $\mathbb{R}^d$ 上の Lebesgue 可測関数とする。 $\sigma(M_\varphi)$ は $\varphi$ の本質的値域

\mathrm{ess\,ran}\,\varphi=\{z\in\mathbb{C}: \text{すべての } \varepsilon>0 \text{ について } |\{x: |\varphi(x)-z|\lt\varepsilon\}|>0\}

に等しい（ $|\cdot|$ は Lebesgue 測度）。特に $\sigma(Q)=\mathbb{R}$ 、 $\sigma(P)=\mathbb{R}$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。