レゾルベント集合とスペクトル

$T$ を $\mathcal{H}$ における線形作用素とする。$z\in\mathbb{C}$ について、$T-z\colon D(T)\to\mathcal{H}$ が全単射で、逆 $(T-z)^{-1}$ が（$\mathcal{H}$ 全体で定義された）有界作用素であるとき、$z$ を $T$ のレゾルベント集合 $\rho(T)$ の元という。$\sigma(T)=\mathbb{C}\setminus\rho(T)$ をスペクトル、$z\in\rho(T)$ に対する $R(z)=(T-z)^{-1}$ をレゾルベントという。$T-z$ が単射でない $z$ の集合を点スペクトル $\sigma_{\mathrm{p}}(T)$ という。