Feshbach–Schur の等スペクトル性

定義 7.1 の状況で $\bar R(z)$ が存在するとする。

1. $T - z$ が $\mathcal{H}$ 上で有界な逆を持つことと、$F_P(z)$ が $\mathrm{Ran}\,P$ 上で有界な逆を持つことは同値で、そのとき $F_P(z)^{-1} = P(T-z)^{-1}P|_{\mathrm{Ran}P}$ であり、

2. 写像 $\psi\mapsto P\psi$ は $\mathrm{Ker}(T-z)$ から $\mathrm{Ker}\,F_P(z)$ への線形同型で、逆写像は $\varphi\mapsto\varphi - \bar R(z)\bar PT\varphi$ である。とくに $z$ が $T$ の固有値であることと $0$ が $F_P(z)$ の固有値であることは同値で、幾何的多重度は等しい。