弱位相・弱 * 位相

$X$ をノルム空間とする。

1. $X$ 上の弱位相 $\sigma(X, X^*)$ とは、すべての $F\in X^*$ を連続にする最も弱い位相である。点列（あるいはネット）$x_n$ が $x$ に弱収束する（$x_n\rightharpoonup x$）とは、全 $F\in X^*$ で $F(x_n)\to F(x)$ となることである。
2. $X^*$ 上の弱 * 位相 $\sigma(X^*, X)$ とは、すべての $x\in X$ について評価写像 $F\mapsto F(x)$ を連続にする最も弱い位相である。$F_n\to F$（弱 *）とは、全 $x\in X$ で $F_n(x)\to F(x)$ となることである。