数学 › 関数解析と作用素論 › 解析的摂動論 II

Rayleigh–Schrödinger 級数（全次数）

定理 6.1（「解析的摂動論 II」§6） ・ ✓公理まで証明済み

∣κ∣<1/(2M)|\kappa|<1/(2M) で n(κ)=⟨φ0,P(κ)φ0⟩≠0n(\kappa)=\langle\varphi_0,P(\kappa)\varphi_0\rangle\ne 0 であり、

χ(κ)=P(κ)φ0n(κ),E(κ)=⟨φ0,AκP(κ)φ0⟩n(κ)\chi(\kappa)=\frac{P(\kappa)\varphi_0}{n(\kappa)},\qquad E(\kappa)=\frac{\langle\varphi_0,A_\kappa P(\kappa)\varphi_0\rangle}{n(\kappa)}

はそれぞれ D(A)D(A)（グラフノルム）と C\mathbb{C} に値をとる解析関数である。実の ∣κ∣<min⁡{κ0,1/(2M)}|\kappa|<\min\{\kappa_0,1/(2M)\} では E(κ)E(\kappa) は AκA_\kappa の (E0−r,E0+r)(E_0-r,E_0+r) 内の唯一の固有値で、χ(κ)\chi(\kappa) は ⟨φ0,χ(κ)⟩=1\langle\varphi_0,\chi(\kappa)\rangle=1 と正規化された固有ベクトルである。べき級数 E(κ)=∑n≥0EnκnE(\kappa)=\sum_{n\ge 0}E_n\kappa^n、χ(κ)=∑n≥0χnκn\chi(\kappa)=\sum_{n\ge 0}\chi_n\kappa^n の係数は、χ0=φ0\chi_0=\varphi_0 と漸化式

En=⟨Bφ0,χn−1⟩,χn=S(−Bχn−1+∑k=1n−1Ekχn−k)(n≥1)E_n=\langle B\varphi_0,\chi_{n-1}\rangle,\qquad \chi_n=S\Bigl(-B\chi_{n-1}+\sum_{k=1}^{n-1}E_k\chi_{n-k}\Bigr)\qquad(n\ge 1)

で定まり、これらの級数は ∣κ∣<1/(2M)|\kappa|<1/(2M) で収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。