全空間の Gaffney 等式

定理 9.1（「Sobolev 空間」§9）・ ✓公理まで証明済み

$u\in H^1(\mathbb{R}^n;\mathbb{C}^n)$ について

\|\nabla u\|_2^2=\|\operatorname{div}u\|_2^2+\|\operatorname{curl}u\|_2^2,\qquad\|\operatorname{curl}u\|_2^2=\sum_{i\lt j}\|\partial_iu_j-\partial_ju_i\|_2^2 .

とくに $\|u\|_{H^1}^2=\|u\|_2^2+\|\operatorname{div}u\|_2^2+\|\operatorname{curl}u\|_2^2$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。