上界・上限

$K$ を順序体、$A \subset K$ を空でない部分集合とします。

• $b \in K$ が $A$ の上界であるとは、任意の $a \in A$ に対し $a \le b$ が成り立つことをいいます。上界が一つでも存在するとき、$A$ は上に有界であるといいます。
• $s \in K$ が $A$ の上限（最小上界）であるとは、(i) $s$ が $A$ の上界であり、(ii) $A$ の任意の上界 $b$ に対し $s \le b$ が成り立つことをいいます。

上限は存在すれば一意です。$s, s'$ がともに上限なら、(i)(ii) を互いに適用して $s \le s'$ かつ $s' \le s$、よって $s = s'$ となるからです。この一意な元を $\sup A$ と書きます。