半順序・全順序・鎖

集合 $P$ 上の二項関係 $\le$ が半順序であるとは、次の 3 条件を満たすことをいう（順序関係の用語は関係と同値関係の反射律・推移律と同じ）。

1. （反射律）$x \le x$。
2. （反対称律）$x \le y$ かつ $y \le x$ ならば $x = y$。
3. （推移律）$x \le y$ かつ $y \le z$ ならば $x \le z$。

組 $(P, \le)$ を半順序集合という。$x \le y$ かつ $x \ne y$ のとき $x < y$ と書く。任意の $x, y \in P$ について $x \le y$ または $y \le x$ が成り立つとき、$\le$ は全順序であるという。$P$ の部分集合 $C$ が、$\le$ を制限したとき全順序になっているなら、$C$ を鎖という。空集合も鎖である。