上界・極大元・最大元

$(P, \le)$ を半順序集合、$S \subseteq P$ とする。

1. $u \in P$ が $S$ の上界であるとは、すべての $s \in S$ について $s \le u$ が成り立つことをいう。
2. $m \in P$ が $P$ の極大元であるとは、$m < x$ となる $x \in P$ が存在しないことをいう。
3. $g \in P$ が $P$ の最大元であるとは、すべての $x \in P$ について $x \le g$ が成り立つことをいう。